Origen de la Trigonometria

•La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

•¿Qué es trigonometría?

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.

Unidades angulares

•En la medición de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

•Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.

•Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

•Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

•Funciones Trigonométricas

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos

Razones Trigonométricas

•El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

•El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

•El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

•La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Funciones trigonométricas recíprocas

•En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíproca se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función reciproca:

•y es igual al seno de x, la función recíproca:

•x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

•si:

•y es igual al coseno de x, la función recíproca:

•x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

•si:

•y es igual al tangente de x, la función recíproca:

•x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

Triángulo

Polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos, si los tres lados son distintos.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

Triángulos Rectángulos

Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
c2 = a · m, b2 = a · n

Alturas De Un Triángulo 

Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:
h2 = m · n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

•Medianas De Un Triángulo 
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro.

•El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:

•Circunferencia Inscrita  
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor circunferencia contenida en el triángulo.

•Circunferencias Exinscritas
La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas.

•Circunferencia Circunscrita
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo.

Origen de Geometría

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En elAntiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

•¿Qué es geometría?

La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos,politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

            

         Axiomas

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica(geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos.  puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

•Tipos de geometría

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría del espacio

Geometría no euclidiana

Geometría algebraica

Geometría analítica

Geometría clásica

Geometría de dimensiones bajas

Geometría descriptiva

Geometría diferencial

Geometría de curvas y superficies

Geometría de Riemann

Geometría diferencial de curvas

Geometría diferencial de hipersuperficies

Geometría diferencial de superficies

Geometría diferencial de variedades

Geometría diferencial discreta

Geometría proyectiva

Otro tipo de geometría

Geometría absoluta

Geometría afín

Geometría computacional

Geometría constructiva de sólidos

Geometría conforme

Geometría convexa

Geometría de incidencia

Geometría discreta

Geometría elíptica

Geometría esférica

Geometría finita

Geometría fractal

Geometría hiperbólica

Geometría molecular